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% 封面
\title{\zihao{0} \bfseries 第一册}
\author{\zihao{2} \texttt{大青花鱼}}
% \date{\bfseries\today}
\date{}
% 正文
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\chapter{从自然数到有理数}

\section{分数、整数、有理数}
我们已经学过自然数：$0,1,2,3,\cdots$。自然数是$0$和$1$相加得到的数。
从$0$开始，不断加$1$，就能得到任何自然数。
自然数之间做加法和乘法，得到的还是自然数。

加法和乘法都满足结合律和交换律，乘法满足对加法的分配律。

自然数是自然产生的。当人们发现两头牛和两天有共同之处时，自然数的概念就诞生了。

为了回答类似“三个人分七只鸡”的问题，人们发明了除法。除法是乘法的逆运算。除法产生了分数。自然数可以看作分母是$1$的分数。
分数之间可以做加法、乘法和除法，得到的还是分数。

为了回答类似“五个鸡蛋吃了两个还剩几个”的问题，人们发明了减法。减法是加法的逆运算。
比如，$3+2=5$，于是$3=5 - 2$。

既然可以写出$5-2$，那么可不可以写$0-2$呢？$0-2$有什么含义呢？

借用“五个鸡蛋吃了两个还剩几个”的思路，$0-2$可以表示“本没有鸡蛋，借来两个鸡蛋吃了两个还剩几个”。
这里剩下的，是“欠两个鸡蛋”，是一种负债状态。因此，这样的数称为\textbf{负数}。

我们一般把$0-2$中的$0$去掉，只记为$-2$。$-2$满足$-2+2=0$。对某个数，比如$73$来说，$73+(-2)=73+(0-2)=73-2$。
也就是说，一个数加上$-2$，就和减去$2$一样。以此类推，可以得到：
$$ -1, -2, -3, \cdots $$
它们由$1,2,3,\cdots$前加上减号得到，表示$0$减去$1,2,3,\cdots$的结果，读作“负一”、“负二”、“负三”等等。
我们把负数带的减号称为\textbf{负号}（读作“负”），和一般减法区别开来。

一般来说，在任何分数前加上负号，也可以得到一个负数，表示$0$减去它的结果。

有没有$-0$呢？$-0$就是$0-0$，也就是$0$自己，所以就没有必要加负号了。

自然数和它们的负数合称\textbf{整数}。我们把$-1, -2, -3, \cdots$这些负数称为\textbf{负整数}，
把原来$1,2,3,\cdots$这些数称为\textbf{正整数}，和负整数相对。由于$-0$就是$0$，约定$0$既不是正数，也不是负数。
于是整数分为正整数、负整数和$0$。

分数和它们的负数合称\textbf{有理数}，我们把带负号的分数称为\textbf{负有理数}或\textbf{负分数}，
把原来的分数（除了$0$）称为\textbf{正有理数}或\textbf{正分数}。
正有理数包括正整数，负有理数也包括负整数，有理数包括整数。

自然数或分数前面加负号得到的负数，叫做它的\textbf{相反数}。反过来，一个负整数或负数去掉负号得到的数，也叫做这个它的相反数。
约定$0$的相反数就是$0$。于是，每个有理数都有唯一的相反数。除了$0$以外，相反数总是成对的。一个有理数的相反数的相反数，就是它自己。

\begin{sk}\label{sk:0-0-0}
    一个有理数前面加上负号，一定会得到一个负数吗？
\end{sk}

加上一个负数，就和减去它的相反数一样。所以，现实问题中遇到和加法对应的具体概念，都可以用减法和负数表示相反或相对的概念。
比如，如果把“往东走三步”视作“$+3$”，那么“往西走两步”就可以视作“$-2$”。“原地往东走三步，再往西走两步”，就可以视作
“$0+3-2$”。计算得到$1$，就表示最终和原来比，往东走了一步。

\section{有理数的大小}
加法不仅可以表达累加的概念，还可以用于比较大小。比如，$5$比$3$大，可以理解为$5$是$3$再加自然数$2$得到的，
而$3$却没法通过$5$加上一个自然数得到。一般来说，两个不同的自然数或分数，如果其中一个加上某个自然数或分数等于另一个，
那么它比另一个数小，另一个数比它大。

用这个方法，我们可以比较有理数的大小。首先，任何负有理数加上它的相反数都得到$0$，
所以$0$大于任何负有理数。而任何正有理数都大于$0$，所以任何正有理数大于任何负有理数。

我们约定大于$0$的数叫做\textbf{正数}，小于$0$的数叫做\textbf{负数}。正整数、正有理数都是正数，负整数、负有理数都是负数。
这样的约定和前面负数的定义是一致的。

负有理数之间如何比较大小呢？举例来说，$0 = -3 + 3 = -3 + 1 + 2$，所以$-3 + 1 = 0 - 2 = -2$。
$-2$由$-3$加上自然数$1$得到，所以$-3$小于$-2$。进一步分析，我们发现，自然数$1$来源于“$3$可以写成$1+2$”。
所以我们可以总结出两个负有理数比较大小的方法：看它们的相反数。相反数中较大的，可以写成较小数加上一个分数，
于是，相反数较大的负有理数加上这个分数，就等于相反数较小的负有理数。因此，相反数较大的负有理数比较小，
相反数较小的负有理数比较大。

正数和负数可以比较大小。所以，现实问题中涉及到相反或相对的概念比较大小时，可以用有理数表示。
比如，今天延安的气温是$3.4$摄氏度，长春的气温是$-8.2$摄氏度，哈尔滨的气温是$-15.1$摄氏度，那么延安气温最高，
长春气温比延安低，而哈尔滨气温又比长春低。

\section{数轴}
为了直观表示有理数，我们引入\textbf{数轴}的概念。

从左往右画一条直线，在中间取一点表示$0$，称为\textbf{原点}。选择适当长度作为单位长度，规定右边是\textbf{正方向}，
往右移动一个单位长度就是“$+1$”，那么，从原点出发，每隔单位长度取一个点，就可以表示出$1,2,3\cdots$。
相对的，往左移动一个单位长度就是“$-1$”，类似可以表示出$-1,-2,-3\cdots$。这就是数轴。

数轴上的点，越往右就越大，越往左就越小。正数都在$0$右边，负数都在$0$左边。
两个数比较大小，可以在数轴上找到对应的点：靠右的比较大，靠左的比较小。

数轴上的数还可以做加减法。在数轴上找到一个数$a$的位置，然后往右移动$b$个单位长度，就得到了$a+b$。
反之，往左移动$b$个单位长度，就得到了$a-b$。

数轴上的相反数：$3$是从原点往右移动$3$个单位长度到达的点，而$-3$是从原点往左移动$3$个单位长度到达的点。如果先往右移动$3$个单位长度，
再往左移动$3$个单位长度，就会回到原点。一般来说，在数轴上先往右再往左（或先往左再往右）走一样多的单位长度，
最终自然就回到原点。这说明任何数加上自己的相反数，都得到$0$。

\begin{sk}\label{sk:0-1-0}
    有理数在数轴上吗？怎么在数轴上找到一个有理数？
\end{sk}

\section{乘方}
乘法可以更方便地表示若干个相同的数相加。比如，我们用$3 \times 4$表示$3+3+3+3$。
那么，能不能方便地表示若干个相同的数相乘呢？

我们把$3\times 3$称为$3$乘$2$\textbf{次方}，把$7\times 7\times 7\times 7\times 7$称为$7$乘$5$次方。

同一个数连乘几次，叫做它乘几次方。连乘的结果，叫做它的几\textbf{次方}或几\textbf{次幂}。这种运算叫做\textbf{乘方}或\textbf{乘幂}。

我们把$7$的$5$次方记作$7^5$，把$7$称为\textbf{底数}，把$5$称为\textbf{指数}。
这样记法，比$7\times 7\times 7\times 7\times 7$更方便。

一个数的$1$次方就是它自己。一个数的$2$次方也叫做它的\textbf{平方}。一个数的$3$次方也叫做它的\textbf{立方}。

约定任何数的$0$次方是$1$。

$7\times 7\times 7\times 7\times 7 = (7\times 7\times 7)\times (7\times 7)$。
用乘方表示这个关系，就是：$7^5 = 7^3 \times 7^2$。注意到$5 = 3 + 2$。
用日常的话来说，$5$个$7$相乘，等于$3$个$7$相乘，再和$2$个$7$相乘。

同底数乘方的积，等于指数之和的乘方。乘方的乘法，可以转化为指数的加法。
因此，乘方的除法，也可以转化为指数的减法。

比如，$7^{5-2} = 7^3 = 7^5 \div 7^2$。

既然乘方的乘除可以转化为指数的加减，那么是否有负指数？能否定义一个数的负数次方？

如果定义$7^{-3}$为：$7^{-3} \times 7^3 = 7^{0} = 1$，那么
$7^{(-3)}$就等于$\frac{1}{7^3}$。一个数的负几次方，就是$1$除以它的几次方。

显然，$0$没有负数次方。

\begin{sk}\label{sk:0-2-0}
    \mbox{}\\
    1. 约定任何数的$0$次方是$1$，有什么好处？\\
    2. 负数次方和前面负数的定义矛盾吗？
\end{sk}

\chapter{从变量到方程（上）}

\section{数和代数}
讨论数的性质时，我们常常发现，总结一些普遍的规律，需要用很多话来说清楚。比如：
\begin{ex}\label{ex:1-0-0}
    \mbox{} \\ 
    \indent $4 = 3 + 1,\,\,\, 4^2 - 3^2 = 4 + 3.$ \\
    \indent $5 = 4 + 1, \,\,\,5^2 - 4^2 = 5 + 4.$\\
    \mbox{}\\
    \indent $(2 \times 4 + 1)^2 = 8 \times 10 + 1.$\\
    \indent $(2 \times 5 + 1)^2 = 8 \times 15 + 1.$
\end{ex}
我们想总结两个对所有数都适用的规律，但只举了几个例子。这种方法不好。

有没有更好的方法呢？

对于第一个规律，我们可以说：如果天元比地元大$1$，那么天元的平方减去地元的平方等于天元加地元。
对于第二个规律，我们可以说，每个自然数两倍加$1$的平方除以$8$余$1$。

我们用“天元”、“地元”、“每个自然数”代替了具体的$4$和$5$，以说明这是更普遍的规律，
而不是只对$4$和$5$成立的等式。这种思想叫做\textbf{代数}的思想。
代数可以让我们暂时忽略具体的数，把重点放在数与数之间的关系上。我们能轻松看出这些关系是普遍的，不依赖特定的数。
我们把这样的关系叫做\textbf{代数关系}。

为了和数区别，“天元”、“地元”、“每个自然数”等称为\textbf{量}。量是对可以运算的概念的称呼。
量可以有现实意义，比如物理学里会讨论物理量，也可以没有现实意义，比如数学中代替数的量可以称为数量。

在讨论问题的时候，如果我们认为一个量代替的数不会变化，就说这个量是\textbf{常量}；如果会变化，就说它是\textbf{变量}。

我们可以用变量描述上面两个规律：
$$ \mbox{如果天} = \mbox{地}+1, \,\,\,\mbox{那么}\mbox{天}^2 - \mbox{地}^2 = \mbox{天} + \mbox{地}. $$
$$  (2\times \mbox{甲} + 1)^2 \,\mbox{除以} \,8\,\mbox{余}\,1.$$
为了方便，我们一般用字母命名的变量来指代数。
$$ \mbox{如果} a = b+1, \,\,\,\mbox{那么} a^2 - b^2 = a + b. $$
$$  (2\times x + 1)^2 \mbox{除以} 8\mbox{余} 1.$$
其中变量$a,b,x$可以变成$3,4,5$或任何一个自然数。

\textbf{用变量代替数，可以用简明的语言表示更复杂、更普遍的规律。}

\begin{sk}\label{sk:1-0-0}
    \mbox{}\\
    1. 用代数的方法，说一说怎样比较两个负有理数的大小。\\
    2. 用代数的方法，定义一个数的负数次方。\\
    3. 用代数的方法，描述加法结合律、加法交换律、乘法结合律、乘法交换律和分配律。
\end{sk}

\section{代数式}
含有变量的算式叫做\textbf{代数式}。为了区别，我们把只有数的算式叫做\textbf{数式}。

$a + 2$，$1.84\times x - 3$，$0.79 j^2 - \frac{h+1}{n} + 5 $等等都是代数式。

数式既表示计算过程，也表示计算的结果：一个数。把数式中的数用变量代替，我们不再计算结果，只关心计算过程本身。
这对我们找出并解释计算过程中的规律很有帮助。掌握了计算的规律后，我们再用具体的数代替变量（称为\textbf{取值}或\textbf{代入}），
就能更快更好地算出结果。

乘号$\times$和$x$或$X$很像，为了避免混淆，一般省略乘号，或用$\cdot$代替乘号。
$1.84\times x - 3$可以写成$1.84 x - 3$或$1.84\cdot x - 3$

代数式中不同的变量称为\textbf{元}。只与一个变量有关的式子叫做\textbf{一元式}，
和多个变量有关的式子叫做\textbf{多元式}。

变量和数通过四则运算得到的代数式，叫做\textbf{有理式}。
变量和数通过加法、减法和乘法得到的代数式，叫做\textbf{整式}。
如果除法中涉及了变量，就叫\textbf{分式}。有理式中除了整式，就是分式。
\begin{ex}\label{ex:1-1-0}
    \mbox{} \\
    \indent 整式：$x^3 + 5x - 3.32$，$a + b^2 - 2C$，$(b - 4)^9.$ \\
    \indent 分式：$\frac{1 - 0.9r + v^2}{3B - k}$，$n^2 - 7 + \frac{0.88}{(H - 6)^3}$, $t - (t + 0.382g)^{-3}.$\\
\end{ex}

我们知道，数的乘法比加减法优先。比如，计算$4 + 3\times 6$时，我们要先计算$3\times 6 = 18$，再计算$4 + 18 = 22$。
先计算加法是不对的。代数式特别是整式中，我们也更关心乘法。我们把变量和数相乘的部分称为\textbf{项}。$0.54xba$，$-1.24\cdot gb\cdot 1.19 \cdot g^2$，$u\cdot 98K$
各是一项，$10b - V$是两项的差。

项是变量和数的乘积。变量之间不一定能运算，但数与数之间可以运算。我们可以把项中所有的数相乘，放在最前面，叫做项的\textbf{系数}。
其次，同一个变量多次相乘，可以放在一起，作为连乘，用乘方表示。这样得到更简洁清晰的项。
代数式某一项化简后，总是一个数乘以若干个变量的乘幂。

如果某一项是另一项乘以某个（不是零的）数，就说它们是\textbf{同类项}。同类项的变量部分相同，因此根据乘法分配律，可以合并，规则是把系数相加。
比如，$3.52x^2y$可以和$0.19x^2y$合并，得到$3.71x^2y$。\textbf{合并同类项}也是代数式化简的一部分。
\begin{et}
    对以下代数式合并同类项：\\
    \indent 1. $3x^2y - y^22x + 1 + yx^2 - 6y\cdot (xy + 4)$ \\
    \indent 2. $aha - 5a(h + ah) + 4ha^2 + hab$ \\
    \indent 3. $\frac{a + 2b}{a - b} + \frac{2a^2 - b}{(a - b)(a + b)}$ 
\end{et}
\begin{so}
    \mbox{}\\
    1. 首先用乘法分配律将每一项展开出来，
    \begin{align}
             & 3x^2y - y^22x + 1 + yx^2 - 6y\cdot (xy + 4) \notag \\
        =\,\,& 3x^2y - y^22x + 1 + yx^2 - 6yxy + 6y\cdot 4. \notag
    \end{align}
    然后按同一顺序把每项的字母排好，最左边是系数，然后按字母表顺序排列。比如：$y^22x$改写为$2xy^2$。这样，我们就能方便地找出同类项，然后合并。
    \begin{align}
             &3x^2y - y^22x + 1 + yx^2 - 6yxy + 6y\cdot 4 \notag \\
        =\,\,&3x^2y - 2xy^2 + 1 + x^2y - 6xy^2 + 24y \notag \\
        =\,\,&(3x^2y + x^2y) + (- 2xy^2 - 6xy^2) + 24y + 1 \notag \\
        =\,\,&4x^2y - 8xy^2 + 24 y + 1 \notag
    \end{align}
    2. 同上，
    \begin{align}
             & aha - 5a(h + ah) + 4ha^2 + hab \notag \\
        =\,\,& a^2h - 5ah - 5a^2h + 4a^2h + abh \notag \\
        =\,\,& (a^2h  - 5a^2h + 4a^2h) - 5ah + abh \notag \\
        =\,\,& 0a^2h - 5ah + abh \notag \\
        =\,\,& - 5ah + abh \notag 
    \end{align}
    这里几个$a^2h$相关的同类项合并之后系数为$0$，这说明几个同类项相互抵消了。同类项抵消是代数式化简的主要原因。\\
    3. 分式的化简需要考虑分子和分母。为了方便，通常会先进行通分，然后对分子做合并同类项，最后约分。
    \begin{align}
             & \frac{a + 2b}{a - b} + \frac{2a^2 - b}{(a - b)(a + b)} \notag \\
        =\,\,& \frac{(a + 2b)(a + b) + 2a^2 - b}{(a - b)(a + b)} \notag \\
        =\,\,& \frac{a^2 + 2ba + ab + 2b^2 + 2a^2 - b}{(a - b)(a + b)} \notag \\
        =\,\,& \frac{(a^2 + 2a^2) + (2ab + ab) + 2b^2 - b}{(a - b)(a + b)} \notag \\
        =\,\,& \frac{3a^2 + 3ab + 2b^2 - b}{(a - b)(a + b)} \notag 
    \end{align}
\end{so}

一项中所有变量的指数的和，叫做它的\textbf{次数}。比如$3.71x^2y$的次数是$3$，它可以叫$3$次项。
不含变量部分的项叫\textbf{常数项}。常数项次数为$0$。

整式是变量和数通过加减法和乘法得到的代数式。由于乘法优先计算，可以认为整式是一些项做加减法得到的。
合并同类项后，如果只剩下一项，就说它是\textbf{单项式}。一般来说剩下不止一项，称为\textbf{多项式}。
多项式的每一项都是单项式。多项式次数最高的项叫做\textbf{最高次项}。最高次项的次数就叫多项式的\textbf{次数}。
如果多项式每一项的次数都相等，就称它为\textbf{齐次多项式}。

\begin{xt}\label{xt:1-1-0}
    \mbox{} \\
    1. 合并同类项：\begin{itemize}
        \item $3 + 9x^3 + 5x - 7x^3 - 3.32 - 1.05x$
        \item $ab^2 + (c-b)a^2 - ba(b - c) + c(b + a)c + (a - c)b(c + a) - (b + c)bc.$
    \end{itemize}
    2. 判断是否是齐次多项式：\begin{itemize}
        \item $\frac{(a+b)^3}{a - b}$
        \item $a^4 - bx^3$
        \item $a^4b^4\left(\frac{a^2}{b} + \frac{c^2}{a}\right)^4$
    \end{itemize}
\end{xt}

\section{等式和方程}
\textbf{等式}就是把两个式子或多个式子用等号连起来。\textbf{不等式}就是把两个式子或多个式子用不等号连起来。
一般情况，默认是两个式子。

等式可以是真的，也可以是假的。前者也叫等式成立，后者也叫等式不成立。

按大小关系，\textbf{不等号}分为两类：大于类和小于类。按是否包含相等关系，不等号分为两类：严格类和可等于类。
一共有四个不等号：“$<$”（严格小于），“$\leqslant$”（小于等于），“$>$”（严格大于），“$\geqslant$”（大于等于）。

等式的基本性质：两边同时加、减、乘、除同一个量，成立的等式仍然成立。

为了解决生活中的问题，我们学过简单的方程。把未知的数，用变量表示。问题中的相等关系，就变成了含变量的等式，
称为\textbf{方程}。解决这个问题，求出使得等式成立的变量值，称为\textbf{解方程}，这时变量的值称为\textbf{方程的解}。

如果问题中的条件是不等关系，我们就得到了含变量的\textbf{不等式}。解决这个问题，求出使得不等式成立的变量值，
称为\textbf{解不等式}。变量的值称为\textbf{不等式的解}。

\begin{xt}\label{xt:1-2-0}
    以下哪些是等式？哪些是不等式？哪些是方程？
    $$
    \begin{array}{lll}
        (1). \,\,\, 3x + 1 = 4, \quad & (2). \,\,\, 6 = 4, \quad & (3). \,\,\, a = b = c+1  \\
        (4). \,\,\, v \leqslant 4r^2 - v, \quad & (5). \,\,\, 2 > 3, \quad & (6). \,\,\, h \geqslant f > g - f 
    \end{array}
    $$
\end{xt}

\chapter{集合和映射}
\section{集合}
我们用集合表示一类事物。把不同性质的事物聚集在一起，合起来考虑，就是\textbf{集合}，简称\textbf{集}。
构成集合的事物称为集合的\textbf{元素}。
\begin{enumerate}
    \item 集合的元素互不相同。
    \item 集合的元素没有顺序。
    \item 集合的元素是确定的：一个事物要么属于该集合，要么不属于。
\end{enumerate}

某个事物$a$属于集合$A$，记作$a\in A$。某个事物$a$不属于集合$A$，记作$a\notin A$。

\begin{ex}\label{ex:2-0-0}
    \mbox{} \\ 
    \indent 可以在大括号中列出集合的元素，比如：$\{1,2,3\}$是一个集合，$\{1,2,2,3\}$不是集合。 \\
    \indent 也可以在大括号中用条件描述集合。集合的元素是满足条件的元素，比如：$\{ a\, |\, a\mbox{是偶数}\}$。竖线左边是元素的样子，右边是它满足的条件。\\
    \indent 还可以直接用文字描述集合，比如：$\{\mbox{一年的十二个月份}\}$是一个集合。\\
    \indent 除了以上方式，也可以用示意图、图表、列表等方式表示集合。
\end{ex}

没有元素的集合称为\textbf{空集}，记为$\varnothing$。

自然数、整数、分数、有理数都是集合。自然数一般简记为$\mathbb{N}$，分数一般简记为$\mathbb{F}$，
整数一般简记为$\mathbb{Z}$，有理数一般简记为$\mathbb{Q}$。“$a$是自然数”可以记为$a\in\mathbb{N}$。

如果集合$A$的元素都是集合$B$的元素，就说$A$是$B$的\textbf{子集}，记为$A\subseteq B$，
$B$是$A$的\textbf{母集}，记为$B\supseteq A$。
如果两者不相同，就说$A$是$B$的\textbf{真子集}，记为$A\subset B$，$B$是$A$的\textbf{真母集}，
记为$B\supset A$。

如果$A$是$B$的子集，那么$B$中不属于$A$的元素也构成一个集合，称为$A$在$B$中的\textbf{补集}，记为$B\backslash A$。
讨论问题的时候，我们可能会默认某个集合是问题涉及的所有事物的集合，其他集合都是它的子集。这样的集合一般称为\textbf{全集}。
全集存在的时候，集合$A$在全集中的补集可以简称为$A$的补集，记为$\bar{A}$或$A^c$。

\begin{ex}\label{ex:2-0-10}
    \mbox{} \\ 
    \indent 1. 集合$\{1,2\}$是集合$\{1,2,3\}$的真子集，集合$\{1,2,3\}$是集合$\{1,2\}$的真母集：$\{1,2\}\subset \{1,2,3\}$，$\{1,2,3\}\supset \{1,2\}$。\\
    \indent 2. 任何集合$S$总是空集$\varnothing$的母集：$\varnothing \subseteq S$。\\
    \indent 3. $\{1,2\}$在集合$\{1,2,3\}$中的补集是$\{3\}$。$\{3\}$在集合$\{1,2,3\}$中的补集是$\{1,2\}$。
\end{ex}

自然数集、整数集、分数集和有理数集有以下关系：
\begin{align}
    \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q} \notag \\
    \mathbb{N}\subset\mathbb{F}\subset\mathbb{Q} \notag
\end{align}
以上每个集合中的正数与负数，构成它的子集，一般用上标$+$和$-$标示。比如，$\mathbb{Z}^+$就表示正整数集合，$\mathbb{Q}^-$就表示负有理数集合。

考虑若干个集合。由属于其中至少一个集合的元素构成的集合，称为这些集合的\textbf{并集}；
由属于所有集合的元素构成的集合，称为这些集合的\textbf{交集}。
两个集合$A, B$的并集记为$A\cup B$，交集记为$A\cap B$。

几个集合交集为空集，就说它们\textbf{不相交}，否则就说它们相交。几个集合中任取两个，都不相交，就说它们两两不相交。
如果集合$A$的一些子集两两不相交，而且它们的并集是$A$，就说这些集合是$A$的\textbf{分划}。

\begin{ex}\label{ex:2-0-20}
    \mbox{} \\ 
    \indent 1. 集合$\{1,2\}$和$\{2,3\}$的并集是集合$\{1,2,3\}$，$\{1,2\}$和$\{2,3\}$的交集是$\{2\}$。\\
    \indent 2. 集合$A = \{1,2\}$、$B = \{3,4\}$、$C = \{5,6\}$两两不相交。它们的并集是$S = \{1,2,3,4,5,6\}$。$A,B,C$是$S$的分划。\\
    \indent 3. 集合$ \{1,2,3\}$、$\{3,4,5\}$、$\{1,5,6\}$两两的交集都不是空集，但它们的交集为空集。它们不相交，但不是两两不相交。
\end{ex}

\section{判断和集合}
判断和集合有密切的关系。把一个判断涉及的个体看作全集，使判断为真的个体就是全集的一个子集，使判断为假的个体就是它的补集。
比如“自然数$n$能被$3$整除”这个判断，涉及了自然数这个全集。使它为真的自然数构成自然数集的子集，使它为假的自然数的集合是前者的补集。

全判断和有判断，也包含了集合的概念。比如，“所有兔子的眼睛都是红的”这个判断中，“所有兔子”可能指世界上所有的兔子，
也可能指说话的人面前的几只兔子，因此是含混不清的。只有当我们把兔子的集合确定下来，比如“贵州毕节市黔西县境内的兔子”，
这个判断才是清楚无疑的。同样地，“至少有一个学生得了满分”这个判断，也要在明确了学生的集合，比如“
黎阳小学$2020$级三班的全体学生”，才是有意义的。

数学中，也有各种判断。为了方便，我们引进两个符号：$\forall$和$\exists$。$\forall$表示“任一”、“每个”，
$\exists$表示“存在”、“至少有一个”。对某个集合$A$中元素的全判断，可以写成$\forall x \in A, \, P(x)$；
对某个集合$A$中元素的有判断，可以写成$\exists x \in A, \, P(x)$。其中$P(x)$表示一个包含变量$x$的判断。

比如，“所有$10$的倍数，个位数都是$0$”可以写成：$\forall x \in \mathbb{N}$，$ 10 x$的个位数是$0$。
“至少有一个一位数比$5$大”可以写成：$\exists x \in [0\ldots 9], \, x > 5$。

\begin{wrapfigure}[7]{r}{0.42\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-34pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{叠圈图0.png}
\end{wrapfigure}

复合判断也可以用集合的方式表达。

为了更好理解，我们可以用\textbf{叠圈图}直观理解集合的关系。

如右图，每个圈表示一个集合，圈内的区域表示属于该集合的元素，圈外的区域表示不属于该集合的元素，也就是该集合（关于全集的）补集。
两个圈重叠的部分就表示同时属于两者的元素的集合，也就是两个集合的交集。而两个圈各自的部分加上重叠的部分，
就是至少属于其中之一的元素的集合，也就是两个集合的并集。

叠圈图可以让我们直接看到集合之间的关系。

联言判断是多个判断的全判断。使各个判断为真的个体都构成一个集合$S_i$，因此，通过这些集合的集合$I$，
可以给出使联言判断为真的个体对应的集合：
$$ \{x \,| \,\forall i \in I, x \in S_i \} $$
这个集合是各个集合$S_i$的交集，我们将它记为：$ \bigcap_{i\in I} S_i. $

或言判断是多个判断的有判断。因此，使或言判断为真的个体对应的集合：
$$ \{x \,|\, \exists i \in I, x \in S_i \} $$
这个集合是各个集合$S_i$的并集，我们将它记为：$ \bigcup_{i\in I} S_i. $

\begin{wrapfigure}{r}{0.42\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-28pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{叠圈图1.png}
\end{wrapfigure}

右图中，联言判断对应着所有圈交叠的区域（颜色最深的部分），而或言判断对应着所有蓝色的区域的总和。

\begin{xt}\label{xt:2-1-0}
    验证集合满足以下性质：
    \begin{itemize}
        \item $A \cup B = B \cup A$
        \item $A \cap B = B \cap A$
        \item $A \cup A = A \cap A = A$
        \item $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$
        \item $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
        \item $A \cap \varnothing = \varnothing$
        \item 如果$A \subseteq B$，那么$A \cap B = A$，$A \cup B = B$
        \item $(A \cap B) \cup (A \cap C) = A \cap (B \cup C)$
        \item $(A \cup B) \cap (A \cup C) = A \cup (B \cap C)$
    \end{itemize}  
\end{xt}

\begin{sk}\label{sk:2-1-1}
     有个理发师，坚持只给那些不给自己理发的人理发。那么，他是否该给自己理发呢？
\end{sk}

\section{映射}
我们用\textbf{映射}表示事物之间的对应关系。把一个事物对应到另一个事物，可以理解为事物的变换或对事物进行操作。
因此映射也叫做\textbf{变换}或\textbf{操作}。把数量对应到数量的映射，叫做\textbf{函数}。

我们把映射涉及的事物用两个集合记录：\textbf{出发集}和\textbf{到达集}。映射把出发集的一个元素对应到到达集的一个元素。
用变量$x$指代出发集的元素，$x$的取值在出发集里变化时，映射对应的元素也在到达集里变化，可以用变量$y$表示。
一般称$x$为\textbf{自变量}，$y$为\textbf{应变量}。出发集和到达集都是数集的时候，映射就叫做函数。

如果把映射记作$f$，那么可以用$y = f(x)$或$f:x\mapsto y$表达“映射把出发集的元素和到达集的元素对应起来”这件事。

出发集中，某个映射涉及的元素集合称为映射的\textbf{定义域}；
到达集里，某个映射涉及的元素集合则称为映射的\textbf{值域}。定义域是出发集的子集，值域是到达集的子集。

\begin{ex}\label{ex:2-2-0}
    \mbox{} \\ 
    \indent 1. 把现有《道德经》各个版本和它的字数对应起来，就是一个映射：
    $$
    \begin{array}{lll}
        \mbox{王弼《老子道德经注》（通行本）} &\longrightarrow &\quad 5162\mbox{字} \\
        \mbox{河上公《道德经章句》} &\longrightarrow &\quad 5201\mbox{字} \\ 
        \mbox{傅奕《道德经古本》} &\longrightarrow &\quad 5450\mbox{字} \\
        \mbox{马王堆帛书甲本} &\longrightarrow &\quad 5344\mbox{字} \\
        \mbox{马王堆帛书乙本} &\longrightarrow &\quad 5342\mbox{字} \\
        \mbox{郭店楚墓本} &\longrightarrow &\quad 2046\mbox{字}
    \end{array}
    $$
    \indent 2. 把事物对应到自己的映射叫做\textbf{恒等映射}或\textbf{等映射}。比如，把每个自然数对应到自己的映射就叫自然数集上的恒等映射，也叫恒等函数。任何非空集合上都有恒等映射。恒等映射的定义域和值域相同。\\
    \indent 3. 把事物对应到同一个对象的映射叫做\textbf{恒映射}或\textbf{常映射}。比如，把每个自然数对应到$0$的映射就是恒映射。
\end{ex}

需要强调的是，映射可以把多个元素对应到同一个元素，但不会把一个元素对应到多个元素。

每个一元式都可以用来定义映射。比如，设定定义域是自然数集$\mathbb{N}$后，
代数式$4-0.3x+9x^2+\frac{(1-x+2.69x^4)}{0.5x-1.385}$就可以定义映射：
$$ \forall x\in\mathbb{N}, \quad x \mapsto 4-0.3x+9x^2+\frac{(1-x+2.69x^4)}{0.5x-1.385}. $$
这里我们把映射的定义域设为自然数集：$\mathbb{N}$。
如果把定义域设成另一个集合，比如$\{1,2,3\}$或全体偶数，就定义了另一个映射。

确定了定义域后，每个含有变量的判断也可以定义一个映射。比如，设定定义域是$\{1,2,5,6\}$后，“$3n+1$能被$5$整除”就可以定义映射：
$$ \forall n\in \{1,2,5,6\} , \quad n \mapsto 3n+1\,\mbox{能被}\,5\,\mbox{整除。} $$

\begin{sk}\label{sk:2-2-0}
    全判断$\forall x \in A, \, P(x)$和映射$x \mapsto P(x)$之间存在什么关系？
\end{sk}

\chapter{有理数的运算}
我们已经学过自然数和分数的运算。两个自然数可以做加法、减法和乘法，任两个分数可以做加法、减法、乘法和（不为零的）除法。
把自然数、分数扩展到有理数后，两个有理数可以做加法、减法、乘法和不为零的除法。

有理数的运算和自然数、分数相比，多了与负数有关的运算。为了讨论方便，我们首先介绍一个表示负数的方法：
每个负数都能表示成$-a$的形式，其中$a$是它的相反数，是一个正数。

\section{有理数的加减法}
我们先来看与负数有关的加减法。按照负数的定义，任何负数$-a = 0 - a$。所以，一个数加上一个负数，就等于减去它的相反数：
$$ b + (-a) = b + (0 - a) = b - a$$
换句话说，一个数减去一个正数，就等于加上它的相反数。另一方面，一个数减去一个负数，也等于加上它的相反数：
$$ b - (-a) = b - (0 - a) = b + a$$
两者可以用同一句话描述：\textbf{减去一个数，等于加上它的相反数。}

于是，有理数的减法总可以转化为有理数的加法。

\begin{ex}
    \indent 1. 计算：
    $$
    \begin{array}{ll}
        (1). \quad 3.4 - (-2.1) \quad & \quad (2). \quad 2.8 - (-5) \\
        (3). \quad 9.1 - (-4.6) \quad & \quad (4). \quad 1.2 - (-4.4) 
    \end{array}
    $$
    \indent 2. 把以下减法改为加法：
    $$
    \begin{array}{ll}
        (1). \quad 3.4 - 2.1 \quad & \quad (2). \quad 2.8 - 5 \\
        (3). \quad -9.1 - (-4.6) \quad & \quad (4). \quad -1.2 - (-4.4) 
    \end{array}
    $$

\end{ex}
\begin{so}
    \mbox{}\\
    \indent 1. \\
    \indent $(1). \quad 3.4 - (-2.1) = 3.4 + 2.1 = 5.5$ \\
    \indent $(2). \quad 2.8 - (-5) = 2.8 + 5 = 7.8$ \\
    \indent $(3). \quad 9.1 - (-4.6) = 9.1 + 4.6 = 13.7$ \\
    \indent $(4). \quad 1.2 - (-4.4) = 1.2 + 4.4 = 5.6$ \\
    \indent 2. \\
    \indent $(1). \quad 3.4 - 2.1 = 3.4 + (-2.1)$ \\
    \indent $(2). \quad 2.8 - 5 = 2.8 + (-5)$ \\
    \indent $(3). \quad -9.1 - (-4.6) = -9.1 + 4.6$ \\
    \indent $(4). \quad -1.2 - (-4.4) = -1.2 + 4.4$ 
\end{so}

再来看两个有理数的加法。如果两者都是正数，就是我们熟悉的分数加法。
如果被加数是正数，加数是负数，那么和等于被加数减加数的相反数：
$$ b + (-a) = b - a$$
式子中$a$和$b$都是正数。如果$b > a$，那么和是正数。如果$b < a$，和是负数，它的相反数是：
$$ -(b - a) = 0 - (b - a) = a - b$$
因此和是$a - b$的相反数。\\
如果被加数是负数，加数是正数，那么和等于加数减被加数的相反数：
$$ (-a) + b = 0 - a + b = b - a$$
式子中$a$和$b$都是正数。类似地，如果$b > a$，那么和是正数。如果$b < a$，和是负数，相反数是$a - b$。
如果两者都是负数，和也是负数：
$$ (-a) + (-b) = 0 - a + (0 - b) = 0 - a - b$$
这个和加上$a + b$等于$0$，因此，和是$a + b$的相反数。

看得出，上面讨论中$a$和$b$以及它们的大小关系很重要。为了方便总结，我们引进\textbf{绝对值}的概念：
\begin{df}\label{df:3-0-0}
    正数的\textbf{绝对值}是它自身，负数的绝对值是它的相反数。$0$的绝对值是$0$。
\end{df}
按照这个定义，可以把前面讨论的结果简化：

如果两个有理数同为正数（负数），那么它们的和也是正数（负数），绝对值是它们绝对值的和。如果两个有理数一正一负，那么
它们的和的正负与两者绝对值较大者的正负一致，和的绝对值是绝对值较大者减去绝对值较小者的差。

总结两个有理数的加减法：
\begin{center}
    \fbox{
        \shortstack[l]{
            1. 将减法转为加法。\\
            2. 任何数与$0$相加都得到自身。\\
            3. 计算两个数的绝对值。\\
            4. 如果两个数同正负，取绝对值的和，加上对应的正负号。\\
            5. 如果两个数一正一负，用较大的绝对值减去较小的绝对值，\\
            加上绝对值较大的数的正负号。
        }
    }
\end{center}

\begin{ex}
    计算：
    $$
    \begin{array}{lll}
        (1). \quad 3.4 - (-2.1) \quad & \quad (2). \quad 2.8 - 5 \quad & \quad (3). \quad -7 + 2.3 \\
        (4). \quad -9.1 + (-4.6) \quad & \quad (5). \quad -1.2 + 4.4 \quad & \quad (6). \quad -0.9 - 3.4
    \end{array}
    $$
\end{ex}
\begin{so}
    \mbox{}\\
    \indent $(1). \quad 3.4 - (-2.1) = 3.4 + 2.1 = 5.5$ \\
    \indent $(2). \quad 2.8 - 5 = 2.8 + (-5) = -(5 - 2.8) = -2.2$ \\
    \indent $(3). \quad -7 + 2.3 = -(7 - 2.3) = -4.7$ \\
    \indent $(4). \quad -9.1 + (-4.6) = -(9.1 + 4.6) = -13.7$ \\
    \indent $(5). \quad -1.2 + 4.4 = 4.4 - 1.2 = 3.2$ \\
    \indent $(6). \quad -0.9 - 3.4 = -0.9 + (-3.4) = -(0.9 + 3.4) = -4.3 $ 
\end{so}

\begin{xt}\label{xt:3-0-0}
    算一算：\\
    \indent $2.56 - (-1.9)$，$(-4) + 3.29$，$10.8 + (-42.15).$ \\
    \indent $-59.76 + 40.3$，$-2.8 - 6.6$，$-5.09 - (-2.9).$ \\
    \indent $-1.76 -(-5.21) - 1.874$，$3.202 - (-1.94) - 1.57$，$2 + (-9.18) - (20.354).$ \\
    \indent $3 - 2 - (-8) + (-2.2)$，$-8.1 - ((-1.6) - 1.96 + (-3.9 + 1.203)).$
\end{xt}

\section{有理数的乘除法}
讨论有理数的乘除法，可以从最简单的情况开始：$(-1) \times 1$和$(-1) \times (-1)$。按照定义，
$$(-1) \times 1 = (0 - 1) \times 1 = 0 \times 1 - 1 \times 1 = 0 - 1 = -1.$$
同理，$(-1) \times 0 = 0$，于是：
\begin{align}
    (-1) \times (-1) &= (-1) \times (0 - 1) \notag \\
    &= (-1) \times 0 - (-1) \times 1 \notag \\
    &= 0 - (-1) = 1. \notag
\end{align}
类似的还有$1 \times (-1) = 1$以及$0 \times (-1) = 0$。所以，$-1$的乘法性质可以归纳为“负零得零，负正得负，负负得正”。

同理，把乘数换成一般的数，也有：
$$(-1) \times a =  0 - a = -a, \quad (-1) \times (-a) = (-1) \times (0 - a) = a.$$
也就是说，一个数乘以$-1$，总得到它的相反数。任何负数都等于它的绝对值乘以$-1$。

因此，两个有理数相乘，乘积的绝对值总是两者绝对值的乘积，只需把$-1$作为因子提出来，然后看$-1$的个数确定乘积的正负就可以了。
如果两个数都是正数，那么不需要考虑$-1$的问题。如果两者一正一负，那么有一个$-1$，乘积是负数，
如果两个数都是负数，有两个$-1$，“负负得正”，于是乘积是正数。

如果乘数或被乘数是$0$，结果是$0$。

除法是乘法的逆运算。除以一个正有理数$a$，等于乘以它的倒数：$\frac{1}{a}$。
我们只需要把涉及负数的除法也转为乘法即可。

除数是负有理数$-a$的时候，我们首先找到$b \div (-a)$的商，也就是使得$c \times (-a) = b$的数$c$。
根据前面对乘法的推导，
$$ b \times (-1) \times \frac{1}{a} = c \times (-a) \times (-1) \times \frac{1}{a} = c \times a \times \frac{1}{a} = c$$
或者说
$$c = b\times \left((-1) \times \frac{1}{a}\right) = b\times \left(-\frac{1}{a}\right) .$$
即
$$b \div (-a) = b\times \left(-\frac{1}{a}\right). $$
最后，我们说明$-\frac{1}{a}$是$-a$的倒数：
$$ (-a) \times \left(-\frac{1}{a}\right) = (-1)\times (-1) \times a \times \frac{1}{a} = 1.$$

所以，无论除数是正有理数还是负有理数，\textbf{除以一个数，等于乘以它的倒数。}

于是，有理数的除法总可以转化为有理数的乘法。

综上所述，可以这样总结有理数的乘除法：
\begin{center}
    \fbox{
        \shortstack[l]{
            1. 将除法转为乘法。\\
            2. 任何数与$0$相乘都得到$0$。\\
            3. 计算两个数的绝对值。\\
            4. 如果两个数同正负，取绝对值的乘积。\\
            5. 如果两个数一正一负，取绝对值乘积的相反数。
        }
    }
\end{center}
\begin{ex}
    计算：
    $$
    \begin{array}{lll}
        (1). \quad 3.3 \times (-5) \quad & \quad (2). \quad -\frac{3}{7} \times (- \frac{5}{6}) \quad & \quad (3). \quad (-2.4) \times \frac{1}{6} \\
        (4). \quad 4.8 \div (-1.6) \quad & \quad (5). \quad -\frac{3}{7} \div (- \frac{5}{14}) \quad & \quad (6). \quad (-2.8) \div \frac{2}{3}
    \end{array}
    $$
\end{ex}
\begin{so}
    \mbox{}\\
    \indent $(1). \quad 3.3 \times (-5) = -(3.3 \times 5) = -16.5$ \\
    \indent $(2). \quad -\frac{3}{7} \times (- \frac{5}{6}) = \frac{3}{7} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{14}$ \\
    \indent $(3). \quad (-2.4) \times \frac{1}{6} = -(2.4 \times \frac{1}{6}) = -0.4$ \\
    \indent $(4). \quad 4.8 \div (-1.6) =  4.8 \times (-\frac{5}{8}) = -(4.8 \times \frac{5}{8}) = -3$ \\
    \indent $(5). \quad -\frac{3}{7} \div (- \frac{5}{14}) = -\frac{3}{7} \times (- \frac{14}{5}) = \frac{3}{7} \times \frac{14}{5} = 1.2$ \\
    \indent $(6). \quad (-2.8) \div \frac{2}{3} = (-2.8) \times \frac{3}{2} = -(2.8 \times \frac{3}{2}) = -4.2 $ 
\end{so}

\begin{xt}\label{xt:3-1-0}
    \mbox{}\\
    \indent 算一算：\\
    \indent $4.51 \times (-2.2)$，$(-1.2) \times (-3.9)$，$(-1.8)\times 0.8.$ \\
    \indent $1.98 \div (-0.3)$，$-2.8 \div (-0.7)$，$5.2 \div (3 \div (-1.5))$, $(-3) \div (0.5 \times (-2.4)).$ \\
    \indent 思考：\\
    \indent 1. 为什么“任何数与$0$相加都得到自身”？\\
    \indent 2. 为什么“任何数与$0$相乘都得到$0$”？\\
    \indent 3. 为什么说“涉及负数的乘法也满足交换律和分配律”？
\end{xt}


\chapter{代数式的运算}
代数式是含有变量的算式。代数式的运算和数式并没有区别。毕竟，代数式里的变量只是用来
代替数的。对代数式做运算，使用和数式运算一样的规则：加法结合律、乘法结合律、加法交换律、
乘法交换律，以及乘法对加法的分配律。

\section{整式的运算}

与整式有关的计算，一个常见的目标是把式子\textbf{展开}，也就是把几个整式的乘积转成一个整式：单项式或多项式。
展开整式，可以按照以下步骤操作：
\begin{enumerate}
    \item 用分配律把整式乘积转为整式中各项的乘积之和。
    \item 合并同类项（用到结合律和交换律）。
\end{enumerate}
\begin{ex}\label{ex:5-0-0}
    计算：\\
    1. 展开并化简$(a + b)(a - b)$\\
    \textbf{解}：
    \begin{align}
        (a + b)(a - b) &= a\cdot (a - b) + b\cdot (a - b) \notag \\
        &= a\cdot a - a\cdot b + b\cdot a - b\cdot b \notag \\
        &= a^2 + (-1 + 1)ab - b^2 \notag \\
        &= a^2 + 0ab - b^2 \notag \\
        &= a^2 - b^2 \notag
    \end{align}
    2. 展开并化简$(a^2 + ab + b^2)(a - b)$\\
    \textbf{解}：
    \begin{align}
        (a^2 + ab + b^2)(a - b) &= a^2\cdot (a - b) + ab\cdot (a - b) + b^2\cdot (a - b) \notag \\
        &= a^2\cdot a - a^2\cdot b + ab\cdot a - ab\cdot b + b^2\cdot a - b^2 \cdot b \notag \\
        &= a^3 + (-1 + 1)a^2b + (-1 + 1)ab^2 - b^3\notag \\
        &= a^3 + 0a^2b + 0ab^2 - b^3\notag \\
        &= a^3 - b^3 \notag
    \end{align}
\end{ex}

在第一个例子中，我们首先把$a - b$看成一个整体，把$a + b$看成两项相加。
使用分配律，就把$(a + b)(a - b)$转为$a\cdot (a - b)$与$b\cdot (a - b)$的和。
接下来，我们把$a - b$看成两项相减，再次使用分配律，就把$(a + b)(a - b)$完全转成若干项的和：
$$ a\cdot a - a\cdot b + b\cdot a - b\cdot b$$
接着，我们合并同类项。使用交换律，可以知道$ab = ba$，所以这两项是同类项，可以合并。合并后，
系数是$-1 + 1 = 0$，所以这$ab$项被消去了。剩下的两项无法合并同类项了。于是我们最后得到：
$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2. $$
第二个例子中的计算步骤也是如此。

另一种常见的代数式计算叫做\textbf{变量代换}。我们知道，变量是用来代替数的。其实，变量也可以用来代替变量。
用变量代替变量，可以变化代数式的形式，很多时候，可以帮助我们更好地理解事物间的关系。

举例来说，我们想展开$(a - 2b + 1)(a - 2b - 1)$，除了像上面的例子一样直接使用分配律然后合并同类项，还有什么别的方法吗？
我们可以观察到，这个式子是两个整式的乘积，第一个是$a - 2b$与$1$的和，第二个是$a - 2b$与$1$的差。
于是，我们可以把$a - 2b$看成一个整体，把$1$看成一个整体。我们用变量$x$代替$a - 2b$，$y$代替$1$，
那么原式就变成了$(x + y)(x - y)$，于是等于$x^2 - y^2$。

我们再把$x$和$y$代替的变量和数代回去，就得到原式等于$(a - 2b)^2 - 1^2$。$1^2 = 1$，
所以我们现在只需要展开$(a - 2b)^2$了。展开$(a - 2b)^2$：
\begin{align}
    (a - 2b)^2 &= (a - 2b)(a - 2b) \notag \\
    &= (a - 2b)\cdot a - (a - 2b) \cdot 2b \notag \\
    &= a^2 -2b\cdot a -a\cdot 2b + 2b\cdot 2b \notag \\
    &= a^2 + (-2 -2) ab + 4b^2 \notag \\
    &= a^2 - 4ab + b^2 \notag
\end{align}
因此，
$$ (a - 2b + 1)(a - 2b - 1) = (a - 2b)^2 - 1 = a^2 - 4ab + b^2 - 1.$$

数学中常用的整式等式：\\
\indent $1. \quad (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $ \\
\indent $2. \quad (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $ \\
\indent $3. \quad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $ \\
\indent $4. \quad (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $ \\
\indent $5. \quad (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $ \\
\indent $6. \quad a^3 + b^3 = (a^2 - ab + b^2)(a + b) $ \\
\indent $7. \quad a^3 - b^3 = (a^2 + ab + b^2)(a - b) $ \\
\indent $8. \quad (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca $ \\
\indent $9. \quad (a + b)(a + c) = a(a + b + c) + bc $ \\
\indent $10. \quad (a + b)(b + c)(c + a) + abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) $ \\
\indent $11.\quad  a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) $ 

\begin{xt}\label{xt:5-0-0}
    \mbox{}\\
    \indent 1. 验证以下等式：\\
    \indent 1.1. $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2a^2+2b^2.$\\
    \indent 1.2. $a^4 + a^2 + 1 = (a^2+a+1)(a^2-a+1).$\\
    \indent 1.3. $3(a-b)(b-c)(c-a) = (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$\\
    \indent 2. 求以下代数式中$x^3$的系数：\\
    \indent 2.1. $(x - 2)^5.$\\
    \indent 2.2. $(x^2 - x + 1)(x^3 - x^2 +2x - 1).$
\end{xt}

\section{分式的运算}

和分数一样，分式运算常见的目的有\textbf{约分}和\textbf{通分}。约分是把分子和分母中共有的式子消去，让分式更简洁。
无法继续约分的分式叫做既约分式。
通分是让几个分式的分母相同，以便相加。约分和通分的方法和分数相同。

\begin{ex}\label{ex:5-1-0}
    通分：\\
    1. $\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c}$\\
    \textbf{解}：
    \begin{align}
        \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} &= \frac{(b+c)bc+(a+c)ac+(a+b)ab}{abc}\notag \\
        &= \frac{ a^2b+b^2c+c^2a + ab^2+bc^2+ca^2}{abc} \notag
    \end{align}

    2. $\frac{a+2b}{a+b-1} - \frac{a+b+1}{a-b+1}$\\
    \textbf{解}：
    \begin{align}
        \frac{a+2b}{a+b-1} - \frac{a+b+1}{a-b+1} &= \frac{(a+2b)(a-b+1) - (a+b+1)(a+b-1)}{(a+b-1)(a-b+1)}\notag \\
        &=  \frac{a^2-ab+a+2ab-2b^2+2b - (a^2+2ab+b^2-1)}{(a+b-1)(a-b+1)} \notag \\
        &= \frac{-ab-3b^2+a+2b+1}{(a+b-1)(a-b+1)} \notag
    \end{align}
\end{ex}

\begin{xt}\label{xt:5-1-0}
    \mbox{}\\
    \indent 1. 验证以下等式：\\
    \indent 1.1. $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b} = \frac{2a}{a^2-b^2}.$\\
    \indent 1.2. $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}.$\\
    \indent 2. 求以下代数式中$x$的系数：\\
    \indent 2.1. $(x^2 - \frac{1}{x})^5.$\\
    \indent 2.2. $(x - x^2 - \frac{1}{x} + 1)(x^2 + x + 3 - \frac{2}{x}).$
\end{xt}

\chapter{从变量到方程（下）}

\section{一元一次方程}

\begin{ex}\label{ex:4-0-0}
    根据以下问题，设未知数并列出方程：\\
    $(1).$ 用一条$50$厘米长的丝带给一个正方形的盒子包装，捆好一周后，还有$26$厘米可以用于打结。盒子的边长是多少？\\
    $(2).$ 把一箱书分给某组学生阅读。如果每人分$3$本，则剩余$20$本；如果每人分$4$本，则还差$16$本。这个班有多少学生？
\end{ex}
\begin{so}
    \mbox{} \\
    $(1)$解：设盒子的边长是$x$厘米，列方程：
    $$ 4x + 26 = 50.$$
    $(2)$解：设这个班有$x$个学生，列方程：
    $$ 3x + 20 = 4x - 16.$$
\end{so}
以上的方程都有这样的性质：恰好含有一个变量来表示未知数，而且含有变量的项都是一次项。
这样的方程叫做\textbf{一元一次方程}。一元一次方程是由关于未知数的一元一次式构成的方程，它的一般形式是：$ax+b=cx+d$。
其中变量$x$是方程的未知数，$a,b,c,d$称为方程的系数。
实际的问题中，系数$a,b,c,d$是已知数，根据等式的基本性质，我们可以求出未知数$x$的值。

首先，我们把含有变量$x$的项移到等式一边，把常数项移到等式另一边。
利用等式的基本性质，我们将等式两边同时减去$b$，再同时减去$cx$，得到$ax-cx=d-b$。

$ax$和$cx$都是只含有$x$的一次项，它们之间只差一个系数，所以可以合并同类项：$ax - cx = (a - c)x$。

如果$a\neq c$，那么可以把等式两边同除以$a-c$，得到$x = \frac{d-b}{a-c}$。这就是方程的解。

如果$a = c$，那么我们得到$0 = d-b$。如果$b\neq d$，那么这个等式总是不成立的。
任何$x$的值都不能使等式成立。我们说方程无解。
如果$b = d$，那么我们得到$0 = 0$。这个等式总是成立的。任何$x$的值都能使等式成立。我们说方程有任意解。

使方程的等式成立的值是一个集合，称为它的\textbf{解集}。我们把上面的说法用集合的说法再表述一次：
方程无解，就是说方程的解集是空集。方程有任意解，就是说方程的解集是全集。方程有唯一解$x = \frac{d-b}{a-c}$，
就是说方程的解集就是$\{\frac{d-b}{a-c}\}$，我们把这种只含有一个元素的集合称为\textbf{单元集}。
\begin{so}
    按这个方法，我们可以解以上两个问题中的方程：\\
    $(1)$解：设盒子的边长是$x$厘米，列方程：
    $$ 4x + 26 = 50.$$
    等式右边没有含变量的项，我们将等式两边同时减去$26$，得到：
    $$ 4x = 50 - 26.$$
    即：
    $$ 4x = 24. $$
    再将等式两边同时除以$4$，就得到解：$x=6$。\\
    答：盒子的边长是$6$厘米。\\
    $(2)$解：设这个班有$x$个学生，列方程：
    $$ 3x + 20 = 4x - 16.$$
    将等式两边同时减去$20$，再将等式两边同时减去$4x$，得到：
    $$ 3x - 4x = -20 - 16.$$
    左边合并同类项，右边计算减法，就得到：
    $$ -x = -36. $$
    再将等式两边同时除以$-1$，就得到解：$x = 36$。\\
    答：这个班有$36$个学生。
\end{so}
我们可以这样总结一元一次方程$ax+b=cx+d$的解：
\begin{center}
    \fbox{
        $ \left\{ \begin{array}{cl}
            a\neq c & \mbox{有唯一解：} \, \frac{d-b}{a-c} \\
            & \\
            a = c & \left\{\begin{array}{cc}
                b\neq d & \mbox{无解} \\
                & \\
                b = d & \mbox{有任意解}
            \end{array}\right.     
        \end{array}\right.
        $
    }
\end{center}

\begin{sk}\label{sk:4-0-0}
    以下方程如何求解？
    $$ \frac{ax + b}{cx + d} = 1$$
    它的解有哪些情况？试和一元一次方程对比。
\end{sk}

\section{一元一次不等式}

\begin{ex}\label{ex:4-1-0}
    根据以下问题，设未知数并列出不等式：\\
    $(1).$ 海水的盐度是$0.351\%$，生理盐水的盐度是$0.9\%$，一千克海水中至少要加入多少克纯水，才能让盐度降到生理盐水的盐度以下？\\
    $(2).$ $100$亩地规划种植葡萄。食用葡萄每亩年收益为$0.4$万元，酿酒葡萄每亩年收益为$0.6$万元。规划年收益$52$万元。要如何安排种植？
\end{ex}
\begin{so}
    \mbox{} \\
    $(1)$解：设要加$x$克水，题目条件可以写成：
    $$ \frac{1000 \times 0.351\%}{1000 + x} < 0.9\%.$$
    由题目条件，可以假设$1000+x$是正数，两边乘以左式分母，得到：
    $$ 1000 \times 0.351\% < 0.9\% \times (1000 + x).$$
    $(2)$解：设$x$亩地种食用葡萄，那么$100 - x$亩地种酿酒葡萄，题目条件可以写成：
    $$ 0.4 \times x + 0.6 \times (100 - x) \geqslant 52.$$
\end{so}
一元一次不等式和一元一次方程很像，也涉及关于变量的一元一次式。一元一次方程中，两个一元一次式有相等关系，
一元一次不等式中，两个一元一次式有不等关系。区别在于，相等关系只有一种，而不等关系有两类四种。

不等式的基本性质和等式有什么共同点，又有什么区别呢？
\begin{ex}\label{ex:4-1-10}
    观察以下不等式，你能发现什么规律？\\
    $(1).\quad 2 < 3, \quad 3 < 4, \quad 6 < 7$ \\
    $(2). \quad 4 \leqslant 7, \quad 6 \leqslant 10.5, \quad 1.2 \leqslant 2.1, \quad 28 \leqslant 49$ \\
    $(3). \quad 3 < 5, \quad 9 < 15, \quad -6 > -10, \quad -0.36 > -0.6$ \\
    $(4). \quad -7 \leqslant 1, \quad 7 \geqslant -1, \quad -1.4 \leqslant 0.2, \quad 1.19 \geqslant -0.17$ 
\end{ex}

等式的基本性质是：等式两边加、减、乘、除以同一个量，成立的等式仍然成立。

不等式两边加减同一个量，成立的不等式仍然成立。不等式两边乘以或除以同一个量，成立的不等式不一定成立。

我们观察到，只有当不等式两边同时乘以或除以正数的时候，不等式仍然成立；
不等式两边同时乘以或除以负数的时候，不等式不再成立，反号的不等式反而成立。

为什么乘除法和加减法有这样的区别呢？因为大于、小于这些不等关系是按照加减法定义的。
我们可以看以下的例子：
\begin{ex}\label{ex:4-1-20}
    观察以下的式子，不等关系之间有什么联系？\\
    $(1).\quad 2 < 3, \quad 3 > 2, \quad -2 > -3, \quad -3 < -2$ \\
    $(2). \quad 4 \leqslant 7, \quad 7 \geqslant 4, \quad -7 \leqslant -4, \quad -4 \geqslant -7$
\end{ex}
一般来说，两个数$a,b$的不等关系是\textbf{互反}的：如果$a < b$，那么$b > a$，反之亦然；
如果$a \leqslant b$，那么$b \geqslant a$，反之亦然。左右边互换的时候，不等号要反过来。
而两个数的相等关系是\textbf{自反}的：如果$a = b$，那么$b = a$。左右边互换的时候，等号仍然是等号。

从$2 < 3$到$-2 > -3$，可以理解为两边同时乘以$-1$；也可以理解为两边同时减去$2$，再同时减去$3$，然后左右边互换。
左右边互换时，不等式反号。如果两个数相等，那么左右边互换时不需要反号，或者说，等号的反号仍然是等号（因此说相等关系是自反的）。

追根究底，不等关系反映了数与数之间的顺序，相等关系反映了数与数之间有共同之处。它们代表了数的不同性质。

一元一次不等式的解法，思路和一元一次方程类似。我们都希望把一次项整理到不等式一边，
把常数项整理到不等式另一边，然后合并同类项，最后两边同时除以变量$x$的系数，求出$x$的解。

因此，在处理一元一次不等式的时候，可以有两种方式。要么用加减法使一次项的系数变成正数，
然后两边同时除以系数得到解。这个方法不需考虑做除法时不等式反号的问题；要么不要求一次项的系数是正数，
两边同时除以一次项系数的时候，视情况决定不等号是否要反号。
\begin{so}
    按这个方法，我们可以解以上两个问题中的不等式：\\
    $(1)$解：设要加$x$克纯水，题目条件可以写成：
    $$ \frac{1000 \times 0.35\%}{1000 + x} < 0.9\%.$$
    由题目条件，可以假设$1000+x$是正数，两边乘以左式分母，得到：
    \begin{align}
        1000 \times 0.351\% &< 0.9\% \times (1000 + x) \notag \\
        3.51 < 9 + 0.009x \notag \\
        3.51 - 0.9 < 0.009x \notag \\
        2.61 < 0.009x \notag
    \end{align}
    两边同时除以正数$0.009$，得到：
    $$ \frac{2.61}{0.009} < x$$
    即：
    $$ x > \frac{2.61}{0.009} = 290.$$
    此时$1000+x > 1290 > 0$，符合假设。\\
    答：至少要加$290$克纯水。\\
    $(2)$解：设$x$亩地种食用葡萄，那么$100 - x$亩地种酿酒葡萄，题目条件可以写成：
    \begin{align}
        0.4 \times x + 0.6 \times (100 - x) &\geqslant 52 \notag \\
        0.4x - 0.6x + 60 &\geqslant 52 \notag \\
        -0.2x &\geqslant 52 - 60 \notag \\
        -0.2x &\geqslant -8 \notag
    \end{align}
    一次项系数$-0.2$是负数，所以两边同时除以$-0.2$，不等式反号：
    $$ x \leqslant \frac{-8}{-0.2}$$
    得到$x \leqslant 40$。由问题条件，$x$还需要满足$0 \leqslant x \leqslant 100$，
    所以解为：$x \leqslant 40$且$0 \leqslant x \leqslant 100$，
    也就是$0 \leqslant x \leqslant 40$.\\
    答：至多$40$亩地种食用葡萄，其余的地种酿酒葡萄。
\end{so}
可以看到，一元一次不等式的解与一元一次方程的解是不一样的。
一元一次方程的解总是单元集、全集或空集，一元一次不等式的解一般既不是全集、也不是单元集或空集。

另外要注意的是，在解决实际问题的时候，往往需要根据题目条件做一些额外的假设，才能列出方程或不等式。
解完方程、不等式后，应该及时检验得到的解，看是否能让这些假设成立。

综上所述，可以这样总结解一元一次不等式的方法：

\begin{center}
    \fbox{
        \shortstack[l]{
            \textbf{方法一：}\\
            1. 通过两边同时加减法，将一次项移到不等式一边，将常数项\\
            移到另一边，并保证一次项系数不是负数。\\
            2. 如果一次项系数等于$0$，比较不等式两边：\\
            2.1. 如果不等式成立，则原不等式有任意解。\\
            2.2. 如果不等式不成立，则原不等式无解。\\
            3. 如果一次项系数大于$0$，将两边同时除以一次项系数，得到\\
            不等式的解。
        }
    }
\end{center}

\begin{center}
    \fbox{
        \shortstack[l]{
            \textbf{方法二：}\\
            1. 通过两边同时加减法，将一次项移到不等式一边，将常数项\\
            移到另一边。\\
            2. 如果一次项系数等于$0$，比较不等式两边：\\
            2.1. 如果不等式成立，则原不等式有任意解。\\
            2.2. 如果不等式不成立，则原不等式无解。\\
            3. 如果一次项系数大于$0$，将两边同时除以一次项系数，得到\\
            不等式的解。\\
            4. 如果一次项系数小于$0$，将两边同时除以一次项系数，并将\\
            不等式反号，得到不等式的解。
        }
    }
\end{center}

\begin{sk}
    以下不等式如何求解？
    $$ \frac{ax + b}{cx + d} < 1$$
    它的解和一元一次不等式有什么不同？
\end{sk}

\end{document}